Question

椭圆x^2/4+y^2/3=1,过点M(-√3,0)的直线l交椭圆于A,B,求△AOB面积S及此时直线l

椭圆x^2/4+y^2/3=1,过点M(-√3,0)的直线l交椭圆于A,B,求△AOB面积S及此时直线l
椭圆x^2/4+y^2/3=1,过点M(-√3,0)的直线l交椭圆于A,B,求△AOB面积S的最大值及此时直线l的倾斜角

Answer 1

若l⊥x轴，则l方程为x=-√3，把x=-√3代入椭圆方程可得A坐标为(-√3,√3/2),B坐标为(-√3，-√3/2)，即|AB|=√3，则SAOB=√3*√3/2=3/2
如果l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y=k(x+√3)，代入椭圆方程，整理得：(3+4k^2)x^2+8√3k^2x+12(k^2-1)=0
x1+x2=-8√3k^2/(3+4k^2)，x1x2=12(k^2-1)/(3+4k^2)，(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=48(k^2-3)/(3+4k^2)^2，
(y2-y1)^2=[k(x2-x1)]^2，|AB|^2=48(k^2-3)(1+k^2)/(3+4k^2)^2，再利用原点到直线l的距离公式可求出距离d=√3k/√(1+k^2)，从而得△AOB面积S=|AB|d/2。但你所给的这题条件不足，所以只能得到关于k的表达式。请你仔细核对一下原来题目。解题思路就是这样的！

追问

|y1-y2|带入韦达定理之后如何求它的范围？因为我是用S△AOB=1/2*|OM|*|y1-y2|算面积的，|y1-y2|范围不会求

追答

不管用哪种方法，都要经历我上面所表述的前面部分思路。我解答的里面已经有了(y2-y1)^2啊，开方后就是你所说的|y1-y2|，范围已经在解答中表述了。

追问

我想问的是怎么求|y1-y2|的范围，不是|y1-y2|的表达式，抱歉，题目问的是△AOB面积的最大值

追答

你自己表达不清啊，呵呵。从上面计算并化简可得｜y1-y2|=√[(1-3/k^2)/(4+3/k^2)^2]，因3/k^2>0，故面积最大即是要上式值最大，即只有k无穷大，也即垂直于x轴时面积最大，上面已经计算出来了，是3/2