Question

证明二次函数f(x)=ax*x+bx+c(a<0)在区间（负无穷大，-b/2a]上是增函数

Answer 1

方法一：对f(x)求导
f'(x)=2ax+b
∵x<-b/2a,a<0
∴2ax>-b
∴2ax+b>0，即f'(x)>0
∴f(x)在(－∞，-b/2a]上是增函数
方法二：
设x1<x2<-b/2a
f(x1)-f(x2)=ax1^2+bx1-ax2^2-bx2=a(x1-x2)(x1+x2)-b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]
∵x1<x2<-b/2a
∴x1+x2<-b/a
又∵a<0,∴a(x1+x2)>-b,∴a(x1+x2)+b>0
又∵x1<x2,即x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在(－∞，-b/2a]上是增函数