Question

如图，平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,且AB，CD不共面，E,F分别是线段AB，CD的中点，求证：EF∥β

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG，
因为AE：EB=CF：FD
∴EG∥BD，FG∥AC，
则EG∥β，FG∥α，
∵α∥β
∴FG∥β；
又因为；EG∩FG=G．
∴平面EFG∥β
而EF⊂平面EFG；
∴EF∥β
（Ⅱ）解：∵EG∥BD，FG∥AC且E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6；
∴EG=

12BD=3，FG=12AC=2
∵AC，BD所成的角为60°，
∴∠EGF=120°或60°
∴EF=EG 2+FG 2−2EG•FGcos∠EGF=22+32−2×2×3cos∠120°=19；
或EF=22+32−2×2×3×cos∠60°=7
即EF＝19或7．