Question

如图AB是⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为弧AN上一点，NC=√3，则BC-AC的值

如图AB是⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为弧AN上一点，NC=√3，则BC-AC的值

Answer 1

设圆的半径为r，∠CBA=a，连接CO和NO，则有∠CON=90-2a，在三角形CON中，由余弦定理有CN^2=CO^2+ON^2-2*CO*ONcos∠CON，
也即3=r^2+r^2-2r^2cos(90-2a)=2r^2(1-sin2a)=2r^2(cosa-sina)^2，
所以r(cosa-sina)=√6/2，
由此可知BC-AC=2rcosa-2rsina=2r(cosa-sina)=√6

如果用初中知识就是这样:
过N作ND⊥CN交CB于D，连接NA和NB，
由于N是半弧中点，
所以∠NCB=45，
所以NC=ND，
同时还有NB=NA，∠NDB=∠NCA=135，∠NBC=∠NAC，
从而∠DNB=∠CNA，于是三角形DNB全等于三角形CNA，于是DB=CA。
所以CB-CA=CB-DB=CD=√(CN^2+ND^2)=√6