Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，且函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2

设函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，且函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2(1)求a,b,c的值（2）若任意x属于(0,3]都有|f(x)-mx|小于等于16成立,求实数m的取值范围

Answer 1

1、因为函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0，所以c=0，则f（x）=ax�0�6+bx，又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2，所以函数的切点为（1,5），切线的斜率为3，即函数经过点（1,5）且在该点处的导数为3，又因为函数的导函数为f‘（x）=3ax�0�5+b，即3a+b=3，同时有a+b=5，解得a=-1，b=6，所以函数f（x）=-x�0�6+6x2、因为|f(x)-mx|=|-x�0�6+6x-mx|=|x||-x�0�5+6-m|≤16，因为x∈（0，3]，所以|-x�0�5+6-m|≤16/x，即-（16/x+x�0�5）+6≤m≤16/x-x�0�5+6，因为-（16/x+x�0�5）+6=-（8/x+8/x+x�0�5)+6≤-3�0�6√[（8/x）�0�5x�0�5]+6=-6，所以m≥-6，又因为16/x-x�0�5+6在x∈（0，3]时，是减函数，所以16/x-x�0�5+6≥7/3，即m≤7/3，所以实数m的取值范围为-6≤m≤7/3

Answer 2

(1)函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，则f(0)=0，c=0函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2，切线斜率为3导数f'=3ax^2+bx=1时，f'=3a+b，故3a+b=3 --(1)切点的纵坐标＝3x+2=3*1+2=5切点坐标满足函数方程，有5=a+b ---(2)（1）（2）解得：a=-1 b=6