Question

设f(x)=x^3-1/2x^2-2x+5,当x∈[-2,2]时,f(x)-m<0恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

答案:m＞157/27
(利用导函数)
因为,f(x)=x^3-1/2x^2-2x+5,
所以,f'(x)=3x^2-x-2
令f'(x)=0,得x1=1,x2=-2/3,
当x∈(-∞,-2/3)时,f'(x)＞0,f(x)递增;
当x∈[-2/3,1]时,f'(x)＜0,f(x)递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0,f(x)递增.
所以,函数f(x)在x=-2/3时取得最大值,为f(-2/3)=157/27
函数f(x)在时x=1取得最小值,为f(1)=7/2
因为,x∈[-2,2]
又,-2/3∈[-2,2],1∈[-2,2],
所以,当x∈[-2,2]时,最大值为f(-2/3)=157/27,最小值为f(1)=7/2,
因为,当x∈[-2,2]时,f(x)-m＜0恒成立,即f(x)＜m
所以,m＞157/27.

Answer 2

由于2x^2-2x+5>0
f(x)-m等价于x^3-1-(2x^2-2x+5)m<0
将x^3-1-(2x^2-2x+5)m看成关于m的一次函数，那么只要x=-2和x=2时该式均小于0即可，所以
-9-17m<0
7-9m<0
故m>7/9