Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）X+m+1=0. ⑴求证:无论m去何值，原方程总有两个

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）X+m+1=0. ⑴求证:无论m去何值，原方程总有两个不相等的实数根；⑵若x¹,x²是原方程的两根，且|x¹-x²|=2√2，求m的值和此时方程的两根.

Answer 1

（1）证明：
因为判别式=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4>0恒成立，
所以：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
⑵因为x¹,x²是原方程的两根，所以：x¹+x²=-(m+3),x¹*x²=m+1,
由|x¹-x²|=2√2，得：（x¹-x²)^2=(x¹+x²)^2-4x¹*x²=8，把x¹+x²=-(m+3),x¹*x²=m+1代入，
得：(m+3)^2-4(m+1)=8，展开、合并得：m^2+2m-3=0,
解得：m=-3或m=1；
若m=-3，则原方程化为：x²-2=0，解得：x1=-√2，x2=√2；
若m=1，则原方程化为：x²+4X+2=0，解得：x1=-2-√2，x2=-2+√2

追问

^ 这是什么

Answer 2

(m+3)^2-4(m+1)=m^2+6m+9-4m-4=m^2+2m+5=(m+1)^2+4>0
所以无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（x1-x2）^2=8
(x1+x2)^2-4x1x2=8
(m+3)^2-4(m+1)=8
m^2+6m+9-4m-4=8
m^2+2m-3=0
m=1或m=-3
m=1时x^2+4x+2=0
(x+2)^2-2=0
x=2+√2或x=-2+√2
m=-3时 x^2-2=0
x=√2或x=-√2