Question

若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的

若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（-x）+|f（x）|=0；③y=f（-x）在（-∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上单调递增．其中正确的结论为______．

Answer 1

①∵f（x）是R上的奇函数，
∴|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|为偶数，即函数为偶数，∴①正确；
②设f（x）=x，满足条件，则f（-x）+|f（x）|=-x+|x|；
但当x＜0时，f（-x）+|f（x）|=-x-x=-2x＜0，
∴对任意的x∈R都有f（-x）+|f（x）|=0不成立，∴②错误；
③∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）是R上单调递增，
根据复合函数的单调性的性质可知y=f（-x）在（-∞，0]上单调递减，∴③错误；
④∵函数f（x）是奇函数，∴y=f（x）f（-x）=-f²（x），
设t=f（x），则y=-t²，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（-∞，0]上单调递增，
且f（x）≤f（0）=0，
函数y=-t²，在（-∞，0]上单调递增，
根据复合函数单调性之间的性质可知y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上单调递增，∴④正确．
故正确的是①④，
故答案为：①④