Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=4，OC=2。点P从点O出

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=4，OC=2。点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D，点D随点P的运动而运动，连结DP，DA。 （1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，△DPA的面积最大？最大面积为多少？（3）当点P与点O重合时，CO的中点绕点P旋转后的对应点为D 1 ，点P与点A重合时，CA中点绕P点旋转后的对应点为D 2 ，求直线D 1 D 2 的解析式；（4）求出随着点P的运动，点D运动路线的长度。

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E， 则∠DPE=∠COP=90°， 因为∠CPD=90°， ∴∠DPE=90°-∠CPO， 又∵∠OPC=90°-∠CPO， ∴∠DPE=∠OPC， ∴△PED∽△COP， ∴ ， ∴PE= =1，DE= OE=OP+PE=t+1， ∴D点的坐标为 ； （2）PA=4-t，DE= =t，所以S △DPA = = ， ∴当t=2时，S △DPA 最大，且最大值为1； （3）D 1 （1，0），D 2 （5，2），设直线D 1 D 2 的解析式为y=kx+b，所以 ，解得 ， ∴直线D 1 D 2 的解析式为y= ， （4）将D点坐标代入到解析式中，y= ， ∴点D在直线D 1 D 2 上，即D点运动的路线是一条线段，起点是D 1 （1，0），终点是D 2 （5，2）， D 1 D 2 = ，∴点D运动路线的长度为 。