Question

已知数列{an}中，a1=1，an?an+1=（12）n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn=a2n+a2n-1，n∈N*．（Ⅰ）判断数

已知数列{an}中，a1=1，an?an+1=（12）n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn=a2n+a2n-1，n∈N*．（Ⅰ）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；（Ⅱ）求T2n．

Answer 1

（Ⅰ）∵an?an+1=(

1

2

)n，∴an+1?an+2=(

1

2

)n+1，
∴

an+2

an

=

1

2

，即an+2=

1

2

an…（2分）
∵b_n=a_2n+a_2n-1，∴

bn+1

bn

=

a2n+2+a2n+1

a2n+a2n-1

=

1 2 a2n+ 1 2 a2n-1

a2n+a2n-1

=

1

2

所以{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．…（5分）
∵a₁=1，a1?a2=

1

2

，∴a2=

1

2

?b1=a1+a2=

3

2

∴bn=

3

2

×(

1

2

)n-1=

3

2n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an+2=

1

2

an，所以a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
a₂，a₄，a₆，…是以a2=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列  …（10分）
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3-

3

2n

…（12分）