Question

设limn→∞an＝a≠0，则当n充分大时，下列正确的有

A.|an|>|a|/2 B．|an|＜|a|/2 C．an＞a-1/n D．an＜a+1/n
虽然能排除C D。但ε取1/n怎么不对了。

Answer 1

这里当n趋近于无穷大时，1/n就相当于一个无穷小量，而不是一个数了 an－a的绝对值＜ε ε的本质是一个数而不是无穷小量

Answer 2

ε是定值, 在C D选项中, ε=f(n)是变值, 故排除

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

n充分大，an≈a；
A：等价于|a|>|a|/2,正确；
根据极限定义，对于任意小正数ε，存在N，只要n>N,便有：
|an-a|≤ε
-ε≤an-a≤ε
-ε+a≤an≤a+ε
|an|≥|a|-ε，取ε<|a|/2
|an|≥|a|-ε>|a|/2
B：错误，与A反；
C：约等于a>a-1/n,0>-1/n,但是可能相等，比如an=a-1/n，也可能小于，比如an=a-1/√n<a-1/n；
D：an=a+1/n,满足题意，an=a+1/√n>a+1/n,也满足题意。

Answer 5

举个反例，
比如，an=a-1/n
明显，lim(n→∞)an=a
an＞a-1/n显然不满足。

同理可以排除D