Question

?题目设p为正整数.证明：若p不是完全平方数,则根号p是无理数

Answer 1

假设根号p是有理数，则
存在互素的正整数m和n使得
根号p=m/n
所以p=m^2/n^2
所以m^2=p*n^2
所以m必为p的倍数
设m=pk
则p^2k^2=p*n^2
p*k^2=n^2
所以n也必是p的倍数，矛盾。

数学（mathematics、maths）是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。

Answer 2

有位老兄答案是正确的，但不容易看，我给他补充完整吧：
如果根号p是有理数，那么根据有理数的性质，可知，根号p=m/n（m、n为互质的两个正整数）
则p=m^2/n^2即n^2*p=m^2，也就是说n^2｜m^2，那么n｜m^2，所以n｜m
又由于n｜n，所以n是n和m的公因数
又因为n和m互质，所以公因数只有1，也就是n=1
那么p=m^2，也就是p是完全平方数，与题设不相符，所以根号p不可能是有理数
命题得证

Answer 3

反证法：假设√p是有理数，则p是有理数，
又p不是完全平方数，所以p是分数（有理数分为整数和分数）。
这与p为正整数矛盾。
所以假设不成立。
故若p不是完全平方数，则根号p是无理数

Answer 4

假设√p是有理数,那麼设√p=m/n,m,n是互质正整数
p=m²/n²,由於p是正整数,得n=1,∴p=m²
而m是正整数,m²是完全平方数,与题目矛盾

Answer 5

反证：设√p=a/b,a,b是正整数且ab互质
p=a^2/b^2
p*b^2=a^2
a和b互质所以a是p的倍数设a=pm
p*b^2
=
p^2m^2
b^2
=
pm^2
因为m与b素质，所以b^2是p的倍数，
所以ab有公因数p，矛盾
根号p是无理数