Question

xsinx是否为周期函数，证明

Answer 1

假设y=x*sinx是周期函数，并设其周期为T。
那么根据周期函数的定义有 y(x+T)=y(x),即(x+T)*sin(x+T)=x*sinx。
另一方面, y(x+T)=(x+T)sin(x+T）=(x+T）。

(sinxcosT+cosxsinT)=xsinxcosT+xcosxsinT+TsinxcosT+TcosxsinT。
若要y(x+T)=y(x)则必须有T=2kπ,k=±1,±2,±3,… 当T=2kπ时，上式4项。

中,xcosxsinT=TcosxsinT=0,但TsinxcosT=2kπsinx≠0,因此得到y(x)不是以T为周期的周期函数，与假设矛盾。因此y不是周期函数。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。

并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。

如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。

Answer 2

具体求法

可以用反证法

如图

Answer 3

假设y=x*sinx是周期函数，并设其周期为T
那么根据周期函数的定义有 y(x+T)=y(x),即(x+T)*sin(x+T)=x*sinx
另一方面, y(x+T)=(x+T)sin(x+T）=(x+T）(sinxcosT+cosxsinT)=xsinxcosT+xcosxsinT+TsinxcosT+TcosxsinT
若要y(x+T)=y(x)则必须有T=2kπ,k=±1,±2,±3,… 当T=2kπ时，上式4项中,xcosxsinT=TcosxsinT=0,但TsinxcosT=2kπsinx≠0,因此得到y(x)不是以T为周期的周期函数，与假设矛盾。因此y不是周期函数。

Answer 4

求证：f（x）=sinx的最小正周期为2π。哇，真简单！但是，不会证明……