Question

证明 y=x（sinx） 不是周期函数 急急！！！

Answer 1

可以用反证法证明
假设函数f(x)= xcosx存在正周期T>0

则 (x+T)cos(x+T)= xcosx对一切x成立

取x=0于是TcosT= 0,所以T=π/2+kπ

再取x=π/2于是(T+π/2)cos(T+π/2)=0所以T=nπ或-π/2

以上交集说明T=-π/2

然后随便找个值验证一下T=-π/2不成立

所以无T，非周期函数

证明步骤

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

已知某命题：若A，则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真。

2.当A为真，B为假，则A⇒B为假，得¬B⇒¬A为假。

3.当A为假，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真。

4.当A为假，B为假，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真。

Answer 2

若T(T≠0)是它的周期，f(x)=x(sinx)，则
对任意x,f(x+T)-f(x)=0，即(x+T)sin(X+T)-xsinx=0
取x=0,则TsinT=0,于是sinT
=
0，因此cosT
=
±1
...①;
取x=π/2，则(T+π/2)sin(T+π/2)-π/2=0
cosT
=
(π/2)/(T+π/2)
根据①，(π/2)/(T+π/2)=±1，②T≠0,于是T=-π。
再取x=π/4,则f(x)=π√2/8,而f(x+T)=f(π/4-π)=f(3π/4)=3π√2/8
显然f(x)≠f(x+T),矛盾。
综上，y=x（sinx）
不是周期函数。

Answer 3

假设f(x)是周期函数

不妨设f(x)的最小正周期为t(t>0),则对于任意的x都满足f(x+t)=f(x),
即(x+t)sin(x+t)=xsinx①

令x=0,
则tsint=0,
∴sint=0,
t=kπ(k∈z)

代入①得
(x+kπ)sin(x+kπ)=xsinx

∴(x+kπ)(-sinx)=xsinx
对任意x都成立

∴x+kπ=-x,
x=-kπ/2对任意x都成立

矛盾,假设不成立,
即f(x)不是周期函数