Question

设有数列{an}，a1=5/6，若以a1，a2，a3，…，an为系数的二次方程a(n一1)x^2一

设有数列{an}，a1=5/6，若以a1，a2，a3，…，an为系数的二次方程a(n一1)x^2一a(n)x十1=0都有根∝，阝，且满足3∝一∝p十3p=1，求证数列{an一1/2}是等比数列，求数列{an}的通项公式

Answer 1

n≥2时，
由韦达定理得
α+β=an/a(n-1) αβ=1/a(n-1)
3α-αβ+3β=1
3(α+β)-αβ=1
3an/亮辩搭a(n-1) -1/a(n-1)=1
3an=a(n-1)+1
3an -3/2=a(n-1)-1/2
(an-1/2)/[a(n-1)-1/2]=1/3，为定值
a1 -1/2=5/6-1/2=1/3
数列{an -1/2}是以灶弊1/3为首项，1/3为公比的等比数列
an -1/2=(1/3)(1/3)^(n-1)=1/3ⁿ
an=1/3ⁿ+1/2
n=1时，a1=1/3+1/2=5/6，同样满足敬拿通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/3ⁿ +1/2