Question

高中的等比数列问题

向番茄味儿锅巴提问,谢谢解答。
题目如下图：

这个题怎么做？是等比数列的实际应用。我需要详细地解答，不仅仅是答案，我需要明白每一步怎么做，只给出答案没有解释是木有用的，所以，会做的网友帮忙解答吧。
如下图是答案，给参考，请求一步一步解释。

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Answer 1

(1)求n次后的浓度
首先你要明白浓度的概念：酒精浓度=酒精在总液体中的比例=(液体中酒精含量 / 液体总量)，既然浓度是个比例，所以你就知道了浓度和具体的量(比如a升总液体、1升倒出的酒精等)是没有关系的，浓度是个比例值，比如”从a升液体中倒出1升酒精后酒精的比例“，与”从1升液体中倒出1/a升酒精后酒精的比例“是一样的，前者是(a-1)/a，后者1-1/a，结果两者一样，都是(1-1/a)。

第一次操作：从a升纯酒精中倒出1升酒精再补满水，剩余的酒精比例（即酒精浓度）=1-1/a（解释同上：希望你能很充分地理解这个步骤，注意我说的是剩余的酒精比例而不是剩余酒精的量）
第二次操作：从a升混合液体中倒出1升混合液体再补满水，剩余的酒精浓度=第一次剩余酒精比例的基础上再乘以(1-1/a)，即(1-1/a)×(1-1/a)=(1-1/a)^2
所以就知道了规律：第n次操作，酒精浓度=(1-1/a)^n
(2)a=2时，多少次后酒精浓度小于10%
即把a=2带入(1-1/a)^n，得到(1-1/2)^n = (1/2)^n，所以题目就是问n等于几时(1/2)^n小于1/10，从1开始一个一个往里带，n=3时浓度=1/8，n=4时浓度=1/16，所以n至少等于4时，浓度才小于1/10。

这道题的关键还是在于(1)，我没有用等比数列的角度来给你解释，而是用了浓度、比例等文字来解释，其实我的解释和你截图中的分析都是一样的道理，这道题我觉得关键在于你不要执着于酒精的量（升），而要理解酒精的比例，比例是个百分比，它是没有”升“这样的单位的，这种题目很经典，希望你搞懂这一题后能理解所有类似的题目。

追问

恩，理解了。

真正做起来在这个地方有疑问。

追答

第一行疑问：
因为液体总量是a，每次倒掉的液体量是1，所以每次掉到的液体比例是：1/a；而其中倒掉的酒精的量是：(上一次操作后液体总量中剩余酒精的量)*1/a，那剩余的酒精的量就是：(上一次操作后液体总量中剩余酒精的量)*(1-1/a) --->就用这个公式

第一次操作后，剩余酒精的量=a*(1-1/a)=(a-1)，剩余酒精的比例a1=剩余酒精量 / 液体总量 = (a-1)/a=1-1/a，【这个你应该能懂。因为第一次操作之前整个液体都是纯酒精，所以剩余酒精量=a】

第二次操作后，剩余酒精的量=(第一次操作后剩余酒精的量)*(1-1/a)=(a-1)*(1-1/a)，剩余酒精的比例a2=剩余酒精的量 / 液体总量 = (a-1)*(1-1/a) / a = (1-1/a)^2 【从这儿你就能看出来an=(1-1/a)^n，你可以再推第三次、第四次的操作结果，肯定符合这个规律】
所以{an}是一个以a1=1-1/a为首项，q=(1-1/a)为公比的等比数列。

第二行疑问：
结合两道题感觉你对an=a1*q^(n-1)这个式子没有理解，其实他的意思就是等比数列中任何一项都可以用首项与公比来表示，比如：a2=a1*q，a3=a2*q=(a1*q)*q，a4=a3*q=a2*q*q=a1*q*q*q。。。
所以：an=a1*q*q*q*q*...*q【共有n-1个q】，所以an=a1*q^(n-1)，又因为a1=1-1/a，q=1-1/a，所以an=(1-1/a)*(1-1/a)^(n-1)=(1-1/a)^n

Answer 2

以上答案十分详细呀。