Question

已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若1/tanA/2+1/tanC/2=4/tanB/2,b=4,则a+c=

Answer 1

A+B+C=180°，
∴tan(B/2)=1/tan[(A+C)/2]=[1-tan(A/2)tan(C/2)]/[tan(A/2)+tan(C/2)],
代入第一个已知式，约去tan(A/2)+tan(C/2)>0，去分母得1-tan(A/2)tan(C/2)=4tan(A/2)tan(C/2)，
∴tan(A/2)tan(C/2)=1/5，
∴5sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2),
∴4sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)，
∴2{cos[(A-C)/2]-cos[(A+C)/2]}=cos[(A+C)/2]
∴cos[(A-C)/2]=(3/2)sin(B/2),
由正弦定理，a+c=4(sinA+sinC)/sinB=4sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]/[sin(B/2)cos(B/2)]=6.