Question

求xy'=y+√(x^2-y^2)=0的通解的问题

如图，请问本题为什么需要针对x>0和x<0讨论？我看其他有些题并没有讨论，不讨论只假设x>0是否可以（求通解不一定需要包含所有解吧?）？什么时候应该讨论或可以不讨论？ 谢谢

Answer 1

首先，通解是一定要包含所有的解的。
其次，这里之所以要分x＞0和x＜0进行讨论，其原因在于所作代换实际上是u＝y/x.而之所以作这个代换，是作者看到了如下事实：
将原方程左右两边同时除以x后，右端就变成了关于变量y/x的函数。
但必须注意的是，在两边同时除以x时，要想将右端第一项化成√[1-(y/x)^2] ，就必须把原来处在根号外面的1/x写进根号内才行，而这一过程就导致在根号外面到底是取正号还是去负号的问题。
这就是为什么分x＞0和x＜0进行讨论的原因。