Question

AD、BE、CF是△ABC的三条中线,若BC=a,CA=b,AB=c,则AD的平方+BE的平方+CF的平方等于多少

Answer 1

3/4*(a的平方+b的平方+c的平方）

由余弦定理可以推出三角形的中线公式。方法如下：
AD的平方+CD的平方-2*AD*CD*cos角ADC=AC的平方 1
AD的平方+BD的平方-2*AD*BD*cos角ADB=AB的平方 2
又因为 cos角ADC+cos角ADB=0 （两个角互为补角）
由1、2相加得
AD的平方=1/2*AC的平方+1/2*AB的平方-1/4*BC的平方
CF与BE同上，三个相加便可得到上面的答案

Answer 2

cos∠ADB=-cos∠ADC
(AD^2+BD^-AB^2)/(2AD*BD)=-(AD^2+CD^-AC^2)/(2AD*CD)
AD^2=(b^2+c^2)/2-a^2/4
同理：
BE^2=(c^2+a^2)/2-b^2/4
CF^2=(b^2+a^2)/2-c^2/4
AD^2+BE^2+CF^2
=3(a^2+b^2+c^2)/4

Answer 3

(a^2+b^2+c^2)/2