Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b 2 =ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足 m

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b 2 =ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足 m?n= 3 2 ．（1）求sinAsinC的值；（2）求证：三角形ABC为等边三角形．

Answer 1

（1）由 m?n= 3 2 得， cos(A-C)+cosB= 3 2 ， 又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）= 3 2 ， 即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）= 3 2 ， 所以sinAsinC= 3 4 ． （2）证明：由b 2 =ac及正弦定理得sin 2 B=sinAsinC， 故 si n 2 B= 3 4 ． 于是 co s 2 B=1- 3 4 = 1 4 ， 所以 cosB= 1 2 或 - 1 2 ． 因为cosB= 3 2 -cos（A-C）＞0， 所以 cosB= 1 2 ，故 B= π 3 ． 由余弦定理得b 2 =a 2 +c 2 -2accosB， 即b 2 =a 2 +c 2 -ac， 又b 2 =ac， 所以ac=a 2 +c 2 -ac， 得a=c． 因为 B= π 3 ， 所以三角形ABC为等边三角形．