Question

直线y=-x+b与双曲线 y= k x 相交于点D（-4，1）、C（1，m），并分别与坐标轴交于A、B两点，过

直线y=-x+b与双曲线 y= k x 相交于点D（-4，1）、C（1，m），并分别与坐标轴交于A、B两点，过点C作直线MN⊥x轴于F点，连接BF．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求∠BCF的度数；（3）设直线MN上有一动点P，过P作直线PE⊥AB，垂足为E，直线PE与x轴相交于点H．当P点在直线MN上移动时，是否存在这样的P点，使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=-x+b与双曲线y= k x 相交于点D（-4，1）， ∴1=4+b，解得b=-3； 1= k -4 ，解得k=-4． ∴直线解析式为y=-x-3，双曲线解析式为y=- 4 x ； （2）∵点C（1，m）在反比例函数y=- 4 x 上， ∴m=- 4 1 =-4， ∴C（1，-4）． 由点A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠BCF=45°； （3）①如图1，当点P在x轴下方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°； 在Rt△FPH中，设FH=FP=x，则PH= 2 x，AH=AF+FH=4+x； 由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC= 2 ，CF=4； 若△APH ∽ △HBC，那么 PH BC = AH CF ，则有： 2 x 2 = 4+x 4 ， 解得：x= 4 3 ，即 P（1，- 4 3 ）； ②如图2，当点P在x轴上方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°； 设FP=x，则 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH= 2 x； 同1可得： PH CF = AH BC ，有： 2 x 4 = x-4 2 ， 解得：x=8，即 P（1，8）； 综上，点P的坐标为（1，- 4 3 ）或（1，8）．