探索发现已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点
探索发现已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．（1）如图①，如果AD=BC，求...
探索发现已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线．（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．学以致用仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）
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解答：
（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB．
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠DAB=∠CBA，
∴AE=BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
在△ABD与△BAC中，AB=BA，AD=BC，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠1=∠2
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
则直线EM是线段AB的垂直平分线；
（2）解：相等．理由：
∵CD∥AB，∴∠3=∠EAB
∵∠4=∠4，
∴△DEN∽△AEM
∴
＝
，同理
＝
∴
＝
∵CD∥AB，
∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8，
∴△OND∽△OMB
∴
＝
，同理
＝
∴
＝
∴
＝
∴AM=BM；
（3）解：作法：如图③①连接AC，BD，两线交于点O1
②在矩形ABCD外任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H
③连接BG，AH，两线交于点O2．
④作直线EO2，交AB于点M．
⑤作直线MO1．
∴直线MO1就是矩形ABCD的一条对称轴．
（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB．∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠DAB=∠CBA，
∴AE=BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
在△ABD与△BAC中，AB=BA，AD=BC，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠1=∠2
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
则直线EM是线段AB的垂直平分线；
（2）解：相等．理由：
∵CD∥AB，∴∠3=∠EAB
∵∠4=∠4，
∴△DEN∽△AEM
∴
| DN |
| AM |
| DE |
| AE |
| DE |
| AE |
| DC |
| AB |
∴
| DN |
| AM |
| DC |
| AB |
∵CD∥AB，
∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8，
∴△OND∽△OMB
∴
| DN |
| BM |
| OD |
| OB |
| OD |
| OB |
| DC |
| AB |
∴
| DN |
| BM |
| DC |
| AB |
∴
| DN |
| BM |
| DN |
| AM |
∴AM=BM；（3）解：作法：如图③①连接AC，BD，两线交于点O1
②在矩形ABCD外任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H
③连接BG，AH，两线交于点O2．
④作直线EO2，交AB于点M．
⑤作直线MO1．
∴直线MO1就是矩形ABCD的一条对称轴．
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