Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90 0 ，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F

如图，在△ABC中，∠ACB=90 0 ，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE=EF；（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A＋∠DGC．

Answer 1

证明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90 0 ，点D为边AB的中点， ∴DC=DA（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）。 ∵DE∥BC，∴AE=CE（平行线等分线段的性质），∠A=∠FCE（平行线的内错角相等）。 又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），∴△AED≌△CEF（ASA）。 ∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。 （2）如图，∵在△ABC中，∠ACB=90 0 ，点D为边AB的中点， ∴DC=DB（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）。 ∴∠B=∠4（等边对等角）。 又∵DE∥BC，∴∠4=∠3，∠B=∠ADE。 ∵DG⊥DC，∴∠2＋∠3=90 0 ，即∠2＋∠D=90 0 。 ∵∠ACB=90 0 ，∴∠A＋∠D=90 0 。∴∠2=∠A。 ∵CF∥AB，∴∠DGC=∠1。 ∴∠B=∠ADE=∠2＋∠1=∠A＋∠DGC。

试题分析：（1）通过由ASA证明△AED≌△CEF得出结论。 （2）如图，经过转换，将∠B转换成∠ADE，从而通过证明∠DGC=∠1和∠2=∠A得出结论。