Question

若a，b，c，均为正实数，且a(a+b+c)+bc=4-2根号3，则2a+b+c的最小值是？

Answer 1

解:
由已知得：a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)=4-2√3=√(√3-1)^2，由均值不等式得：
2a+b+c
=(a+b)+(a+c)≥2√[(a+b)(a+c)]
=2√(4-2√3)
=2√(√3-1)^2
=2(√3-1)
=2√3-2
因此，2a+b+c的最小值为：2√3-2。

附：均值不等式为：对于正数x、y，有x+y≥2√xy
因为(√x-√y)^2≥0，展开即得。

Answer 2

a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)=4-2(3^0.5)=(3^0.5-1)^2 2a+b+c=(a+b)+(a+c)>=2[(a+b)^0.5][(a+c)^0.5]=2[(a+b)(a+c)]^0.5 =2(3^0.5-1)^(2×0.5)=2(3^0.5-1) 注: x^y代表x的y次方