高数 函数证明题 试证明方程x=asinx+b，a>0，b>0，至少有一个正根并且它不超过a+b
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证明：设f(x)=asinx+b-x,a>0,b>0.
f(x)在R上连续,f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-a=<0
而且对任意的x>a+b,f(x)=asinx+b-x若f(a+b)=0,则a+b即为方程x=asinx+b的一个正根,
若f(a+b)<0,则存在ξ∈(0,a+b),使得f(ξ)=0,即ξ为方程的一个正根.
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且它不超过a+b.
f(x)在R上连续,f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-a=<0
而且对任意的x>a+b,f(x)=asinx+b-x若f(a+b)=0,则a+b即为方程x=asinx+b的一个正根,
若f(a+b)<0,则存在ξ∈(0,a+b),使得f(ξ)=0,即ξ为方程的一个正根.
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且它不超过a+b.
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