Question

15. 求值:-|||-(1)已知 a+1/a=3, 求 a^2+1/a^2 和 a^4+1/a^

Answer 1

将 $a + \frac{1}{a} = 3$ 平方，得到

$$
a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9 \quad \Rightarrow \quad a^2 + \frac{1}{a^2} = 7.
$$

同理，将 $a + \frac{1}{a} = 3$ 的平方，展开得到

$$
a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} + 2\left(a+\frac{1}{a} \right) + \frac{1}{a^2} = 9^2 \quad \Rightarrow \quad a^4 + \frac{1}{a^4} + 2\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right) = 79.
$$

将已经求出的 $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$ 带入上式，得到

$$
a^4 + \frac{1}{a^4} + 2\cdot 7 = 79 \quad \Rightarrow \quad a^4 + \frac{1}{a^4} = 60.
$$

因此，$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$，$a^4 + \frac{1}{a^4} = 60$