Question

已知双曲线一焦点关于渐近线的对称点也在双曲线上，求双曲线离心率。 谢谢。

Answer 1

不妨设双曲线方程为x2a2-y2b2=1，其右焦点F（c，0）关于渐近线y=bax对称的点在双曲线上．
过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y-0=-ab（x-c），即y=-ab（x-c），
联立渐近线方程可得方程组

y=baxy=-ab(x-c)，解之可得

x=a2cy=abc，
故对称中心的点坐标为（a2c，abc），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（2a2c-c，2abc），
将其代入双曲线的方程可得(2a2-c2)2a2c2-4a2b2b2c2=1，结合a2+b2=c2，
化简可得c2=5a2，故可
得e=ca=

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