Question

limx→0[cos(sinx)-cosx]/x^4,sin(sinx)为什么不能换成sinx

Answer 1

x->0
sinx ~ x - (1/6)x^3
cos(sinx)
~ 1 -(1/2)[x - (1/6)x^3]^2 + (1/24)[x - (1/6)x^3]^4
~ 1 - (1/2)[x^2 - (1/3)x^4] +(1/24)[ x^4]
~ 1 -(1/2)x^2 + (5/24)x^4
cosx ~1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4
cos(sinx) - cosx ~ (1/6)x^4
lim(x->0) [cos(sinx) -cosx ]/x^4
=lim(x->0) (1/6)x^4/x^4
=1/6
Or
lim(x->0) [cos(sinx) -cosx ]/x^4 (0/0)
=lim(x->0) [-cosx.sin(sinx) +sinx ]/(4x^3) (0/0)
分母： x^3
分子： 也要到 x^3
sin(sinx)
~ sin ( x - (1/6)x^3)
~ [ x - (1/6)x^3] - (1/6)[ x - (1/6)x^3]^3
~ x - (1/6)x^3 -(1/6)x^3
~ x - (1/3)x^3
cosx ~ 1 - (1/2)x^2
cosx. sin(sinx)
~ [ 1 - (1/2)x^2] . [x - (1/3)x^3]
~ x - (1/3)x^3 - (1/2)x^3
~ x - (5/6)x^3
sinx ~ x- (1/6)x^3
-cosx. sin(sinx) + sinx
~-[x - (5/6)x^3] +[x- (1/6)x^3]
~ (2/3)x^3
lim(x->0) [cos(sinx) -cosx ]/x^4 (0/0)
=lim(x->0) [-cosx.sin(sinx) +sinx ]/(4x^3)
=lim(x->0) (2/3)x^3/(4x^3)
=1/6

追问

没有解释为什么sin(sinx)不能直接等价于sinx

追答

lim(x->0) [-cosx.sin(sinx) +sinx ]/(4x^3) (0/0)
分母 ： order x^3
分子 ： 一定要到 x^3
根据Taylor's expansion of sinx
sinx = x -(1/6)x^3 + (1/120)x^5+....
sin(sinx)等价于sinx : 这个明显不足，一定要
sin(sinx) ~ sin[x -(1/6)x^3]

追问

好的 谢谢啦 可是我还是不太明白sinx等价于x,学的时候也没有条件说明分子分母几次方要一样

追答

你学过Taylor's expansion 没有？ 如果没有的话
那你要 记住
等价无穷小， 不能出现 “-”or“+”
分子：-cosx.sin(sinx) +sinx :等价无穷小不能用！
那因为等价无穷小，只是Taylor's expansion 一小部分
等价无穷小 : sinx ~x
Taylor's expansion : sinx~ x -(1/6)x^3 + (1/120)x^5+....

追问

好的谢谢啦