Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0且bc≠0）．（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0且bc≠0）．（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式；（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜|x 1 -x 2 |≤2，试确定c-b的符号．

Answer 1

（1）由已知|f（1）|=|f（-1）|，有|a+b+c|=|a-b+c|，（a+b+c） 2 =（a-b+c） 2 ，可得4b（a+c）=0． ∵bc≠0，∴b≠0．∴a+c=0． 又由a＞0有c＜0． ∵|c|=1，于是c=-1，则a=1，|b|=1． ∴f（x）=x 2 ±x-1． （2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0． 设方程f（x）=0的两根为x 1 、x 2 ． ∴x 1 +x 2 =- b a =2，x 1 x 2 = c a ． 则|x 1 -x 2 |= ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 4-4 c a ． 由已知0＜|x 1 -x 2 |≤2， ∴0≤ c a ＜1． 又∵a＞0，bc≠0， ∴c＞0． ∴c-b＞0．