Question

定积分求解旋转体体积,有一个立体,以长半轴为a=10,短半轴为b=5的椭圆为底,而垂直于长轴的截面

定积分求解旋转体体积,有一个立体,以长半轴为a=10,短半轴为b=5的椭圆为底,而垂直于长轴的截面都是等边三角形,求立体体积．正确答案（1000√3）/3．谢谢帮助

Answer 1

设椭圆长轴为x轴,短轴为y轴.则取一小段△x,则与x轴垂直的平面所截得立体的形状应该是一个 底面为等边三角形,且边长是2y,高是△x的三棱柱.
∴△V=(1/2*2y*√3*y)*△x=√3*y^2*△x
季dV=√2*y^2*dx
由图形的对称关系可知所求旋转体在x轴正半轴的体积和在x轴负半轴的体积是相等的
∴总体积为V=2∫√3*y^2*dx(上限为10,下限为0）
又椭圆方程的参数形式为：
x=10cosθ
y=5sinθ
代入体积式子V=2∫√3*y^2*dx=∫√3*(5sinθ)^2d(10cosθ) (此时θ所对应的积分上下限分别是0,π/2)
V=500√3∫(1-cosθ^2)d(cosθ)
解定积分的∫(1-cosθ^2)d(cosθ)=2/3
所以V=（1000√3）/3
若不是很明白可以再探讨.

追问

等我看看

可以再问一到题吗

求以抛物线y^2=2x与直线x=2所围成的图形为底,而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形的立体的体积.答案是4倍根号3

追答

抛物线分成y=±√(2x)上下两部分,每个剖面正三角形高√3√(2x）
V=2∫[0,2]（√2x)*[√3√(2x)]dx
=4√3∫[0,2]xdx
=4√3.(x^2/2)[0,2]
=8√3.

追问

答案不是4√3吗

为什么要乘2啊