Question

已知二次函数f(x)=-x²+(2t-1)x+(t²+1)

（1）若f（x）在（-∞，-1〗上为增函数，求t的取值范围？
（2）设f（x）的最大值为g（t），求g（t）的表达式，并求g（t）的最小值

Answer 1

（1）令f'(x)=-2x+(2t-1)>0,
则 t>x+ 1/2>=（-1）+1/2=-1/2;
当t>=-1/2时，f（x）在（-∞，-1〗上为增函数。
（2）因为f（x）是首项系数为负的二次函数，必有唯一的最大值。
令f'(x)=-2x+(2t-1)=0,解得 x=t-1/2,
代入f（x），得
g（t）
=-（t-1/2)²+(2t-1)(t-1/2)+(t²+1)
=(t-1/2)²+(t²+1)=2t²-t+5/4.

再令g'（t）=4t-1=0,解得t=1/4.
因为g（t）是首项系数为正的二次函数，必有唯一的最小值，所以
g(t)的最小值为
g(1/4)=2·(1/16)-(1/4)+5/4=9/8

Answer 2

供参考。