Question

一道高数题，请问，tan(π/2-x)=1/tanx是怎么得来的？

求较为详细的分析和解题过程，谢谢

Answer 1

在x的终边取一点A（a，b)

过A做x轴垂线M，在AMO中

tanx=a/b

tan(π/2-x)=a/b

所以tan(π/2-x)=1/tanx

基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。对于这个圆的弦AB。

这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。

tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看做OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。

Answer 2

这是根据诱导公式来的，记忆的口诀就是"奇变偶不变，符号看象限"。就是说tan(x±(n/2)π)，当n为奇数的时候就变成cotx,偶数的时候就不变。然后看(x±(n/2)π)是第几象限角，把x看成一个锐角。如果是1，3象限，那么tan就是正的，前面就不用加负号。如果是二四象限前面就要加负号。

这道题来说由于是π/2，所以是奇数。要变成cotx.又因为(π/2)-x是第一象限角，所以tan是正的。就不用加负号。也就是cotx.

或者用tan和角公式展开取极限也能得到，如下所示: