Question

已知曲线C1的参数方程为x=2cosθy=3sinθ（θ为参数），以坐标原点O为...

已知曲线C1的参数方程为x=2cosθy=3sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2． （Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程． （Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．

Answer 1

解：（1）因为曲线C1的参数方程为x=2cosθy=3sinθ（θ为参数），
所以曲线C1的普通方程为x24+y23=1，…（2分）
由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，
曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（4分）
（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为x=2cosαy=2sinα，
所以P点坐标为（2cosα，2sinα），
由题意可知M（0，3），N（0，-3）．
因此|PM|+|PN|=(2cosα)2+(2sinα-3)2+(2cosα)2+(2sinα+3)2
=7-43sinα+7+43sinα…（6分）
则（|PM|+|PN|）2=14+249-48sin2α．
所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为27．…（10分）
法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，
由题意可知M（0，3），N（0，-3）．
因此|PM|+|PN|=x2+(y-3)2+x2+(y+3)2=7-23y+7+23y…（6分）
则（|PM|+|PN|）2=14+249-12y2．
所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为27．…（10分）