Question

高一数学圆的方程最值问题解决方法

Answer 1

(1)设y/x=k,则y=kx,点(x,y)是圆与直线y=kx的交点,将y=kx代入圆方程中
得k1=1(最小值),k2=3(最大值)
(2)sqr表示根号
sqr(x^2+y^2)表示圆上的点到原点的距离
最值是过圆心与原点的直线与圆的交点
原点到圆心距离为sqr(2^2+3^2)=sqr13
最小值sqr13-1,最大值sqr13+1
(3)设x+y=m
y=-x+m是无数条斜率为-1的平行线,m为其在y轴上的截距
m最值即与圆的切线,
将y=-x+m代入圆
2x^2+(2-2m)x+m^2-6m+12=0
delta=0
m^2-10m+23=0
m1=5+sqr2(最大值),m2=5-sqr2(最小值)

Answer 2

圆为(x-2)^2+(y-3)^2=1
(1)y/x=(y-0)/(x-0)
即求过原点与圆上一点连线的斜率的最值,为相切的的时候
设y=kx,(2,3)到y=kx的距离为1,
算出来为k=2√3/3
正负
2
最小值为2√3/3
-
2,最大值为2√3/3
+
2
(2)x^2+y^2为圆上一点到原点距离的平方
求得结果最小值√13-1,最大值为√13+1
然后平方
(3)用参数方程
x=cost+2,
y=sint+3,
x+y=√2sin(π/4
+
t)+5,
最小值5-√2,最大值5+√2

Answer 3

因圆被x轴分成两段圆弧
弧长之比3:1
，即劣弧的圆心角为
90°
设圆半径为r
，则圆心的y坐标为√2/2
r
又圆截
y轴
所得弦长为2
，故圆心的x坐标为
√（r^2-1)
,即圆心o
[√（r^2-1) ,
√2/2
r ]
再因圆心到
x-2y=0
的距离
=√5/5
,即
[√（r^2-1) -√2
r ]
/5=
1/5

即
√（r^2-1)
=1+√2
r
------
r^2-2√2
r
+2=0
,
得
r=√2
于是圆的方程
(x-1)^2+(y-1)^2=0