Question

f(x)=log1/2为底 (-x^2+x+6)的值域和单调区间该怎么弄?

Answer 1

解：先求定义域-x²+x+6＞0，即x²-x-6＜0，
解得-2＜x＜3
f(x)=log<1/2>(-x²+x+6)=log<1/2>[-(x-1/2)²+25/4]
这是复合函数，是由减函数f(x)=log<1/2>t和
二次函数t=-(x-1/2)²+25/4复合而成的，
后者的增区间为(-2,1/2]，减区间为(1/2,3)。
故f(x)的减区间为(-2,1/2]，增区间为(1/2,3)。

Answer 2

定义域
-x^2+x+6>0
x^2-x-6<0
(x-3)(x+2)<0
-2<x<3

-x^2+x+6=-(x-1/2)^2+25/4<=25/4
-2<x<3
所以-2<x<1/2时,真数是增函数
1/2<x<3时,真数是减函数

对数的底1/2小于1
所以对数是减函数
所以-2<x<1/2时,f(x)是减函数
1/2<x<3时,f(x)是增函数

值域，真数范围是0<-x^2+x+6<=25/4
所以f(x)>=log(1/2) (25/4)

Answer 3

因为-x^2+x+6>0,所以该函数的定义域为-2<x<3
由于f(x)为一个对数函数和一元二次函数复合函数，根据复合函数的性质可知
当-2<x<=1/2时，为单调递减
1/2=<x<3时，为单调递增