Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA ∽ △ABE

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA ∽ △ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使 以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AD ∥ BC， ∴∠PAF=∠AEB． ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA ∽ △ABE． （2）若△EFP ∽ △ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE ∥ AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即x=2． 若△PFE ∽ △ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵AE= AB 2 + BE 2 =2 5 ， ∴EF= 1 2 AE= 5 ． ∵ PE AE = EF EB ，即 PE 2 5 = 5 2 ， ∴PE=5，即x=5． ∴满足条件的x的值为2或5．