Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若AP=10，求△PFA的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，
∴∠DAE=∠AEB．
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=90°，
∴∠AFP=∠B
∴△PFA∽△ABE
（2）∵E是BC边的中点，
∴BE=

1

2

BC=2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=2

5

．
∵△PFA∽△ABE，
∴

S△PFA

S△ABE

＝(

AP

EA

)2．
∵S_△ABE=

4×2

2

=4，
∴

S△PFA

4

＝(

10

2 5

)2，
∴S_△PFA=2．
答：△PFA的面积为2．