Question

如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，

如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG．（1）证明：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；（3）试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．

Answer 1

解：（1）根据翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，
在△EFG和△ECG中，
∵

EF＝EC ∠FEG＝∠CEG GE＝GE

，
∴△EFG≌△ECG（SAS），
∴FG=GC，
∵线段FG是由EF绕F旋转得到的，
∴EF=FG，
∴EF=EC=FG=GC，
∴四边形FGCE是菱形；

（2）连接FC，交GE于O点，
根据折叠可得：BF=BC=10，
∵AB=8，
在Rt△ABF中，
根据勾股定理得：AF=

BF2?AB2

=6，
∴FD=AD-AF=10-6=4，
设EC=x，则DE=8-x，EF=x，
在Rt△FDE中：FD²+DE²=EF²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
在Rt△FDC中：FD²+DC²=CF²，
则：4²+8²=FC²，
解得：FC=4

5

，
∵四边形FGCE是菱形，
∴FO=

1

2

FC=2

5

，EO=

1

2

GE，GE⊥FC，
在Rt△FOE中：FO²+OE²=EF²，即（2

5

）²+EO²=5²，
解得：EO=

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