Question

已知某曲线上任意一点的切线斜率等于该点的横坐标,且曲线通过点(0,1),求此曲线方程

Answer 1

答：
依据题意有：
f'(x)=x
积分得：f(x)=x²/2+C
通过点(0，1)
所以：f(0)=0+C=1
解得：C=1
所以：曲线方程为f(x)=x²/2 + 1

Answer 2

假设曲线方程为：y=f(x)，曲线的任何一点的斜率是该曲线方程的导数（这个你该知道吧 不知道的话数学书上肯定有 应该是高二的内容），表示为y'=f'(x)，那么根据题目有：f(x)=f'(x)，即任何一点的纵坐标和该点的斜线斜率相等。可知应该是指数函数，所以可以设要求的曲线方程为：y=k*e^tx,其中k和t是两个未知的常数，就是我们要求的，由式子：f(x)=f'(x)有：k*e^tx=k*t*e^tx，所以t=1，所以y=k*e^x，又因为曲线过（0,1），则1=k*e^0=k，所以k=1，所以要求的曲线方程为：y=e^x

Answer 3

很容易想到是抛物线y = 0.5x^2 + 1，因为其导数为y` = x，且通过（0,1），满足题设条件。