已知某曲线上任意一点的切线斜率等于该点的横坐标,且曲线通过点(0,1),求此曲线方程
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2014-02-27
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假设曲线方程为:y=f(x),曲线的任何一点的斜率是该曲线方程的导数(这个你该知道吧 不知道的话数学书上肯定有 应该是高二的内容),表示为y'=f'(x),那么根据题目有:f(x)=f'(x),即任何一点的纵坐标和该点的斜线斜率相等。可知应该是指数函数,所以可以设要求的曲线方程为:y=k*e^tx,其中k和t是两个未知的常数,就是我们要求的,由式子:f(x)=f'(x)有:k*e^tx=k*t*e^tx,所以t=1,所以y=k*e^x,又因为曲线过(0,1),则1=k*e^0=k,所以k=1,所以要求的曲线方程为:y=e^x
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2014-02-27
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很容易想到是抛物线y = 0.5x^2 + 1,因为其导数为y` = x,且通过(0,1),满足题设条件。
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