Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0），f（0）=1 f（-2）=f（4）

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0），f（0）=1 f（-2）=f（4）
（1）求a与b的关系式
（2）求f（x）的单调区间，并证明其单调性
（3）若f（x）在[-1，4]的最小值为5，求f（x）在[-1,4]的最域

Answer 1

(1)
f（x）=ax²+bx+c （a≠0），f（0）=1 f（-2）=f（4）
所以对称轴是x=(-2+4)/2=-b/2a
所以b=-2a
(2)
当a<0时，抛物线开口向下
f（x）的单调增区间是(-∞,1)
f（x）的单调减区间是(1,+∞)

当a>0时，抛物线开口向上
f（x）的单调增区间是(1,+∞)
f（x）的单调减区间是(-∞,1)

(3)
f(0)=c=1
f(x)=ax²-2ax+1=a(x-1)²+1-a
若f（x）在[-1，4]的最小值为5
若a<0
那么最小值是f(4)=8a+1=5
所以a=1/2,不符合

若a>0
那么最小值是f(1)=1-a=5
所以a=-4,不符合

如果不懂，请追问，祝学习愉快！