Question

初中一次函数动点问题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数y=k/x在第一象限的图象经过点D.(1)求D点的坐标，以及反比例函数的解析式;(2)若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S;试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标;并直接写出S的取值范围.(3)试探究:将正方形ABCD沿左右(或上下)一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法.

Answer 1

(1)过D作DM⊥OA于M点
由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可证得:RT△BAO≌RT△ADM，(1分)
∵A(1，0)，B(0，2)，
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
则:OM=3，D(3，1)，(1分)
反比例函数解析式为:y=x/3
(2)过K分别作KH⊥BA于H，直线l∥AB
S四边形AOBK=S△BOA+S△BKA,且S△BOA=1，S△BKA=0.5×√5×KH
设直线l为:y=-2x+b
且b＞2，
∴S四边形AOBK的大小与线段HK的大小有关
要使HK最小，则直线l与双曲线y=x/3
在第一象限只有唯一交点K，
故:方程-2x+b=x/3有唯一实根，
∴2x2-bx+3=0中△=b2-24=0，
又∵b＞2，则:b=2，
∴S△BKA最小时K的坐标为(√6/2，√6)
且直线KH为:y=1/2x+3√6/4,故又得:当HK最小时，H的横坐标为:4/5-3√6/10
即S△BKA的最小值为√6-1而可知:HK无最大值;
∴S无最大值，且当K的横坐标为√6/2
(3)(3)过C作CN⊥BO于N，
可得:CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C(2，3)
又∵函数y=x/3中，当x=2时，y=1.5;当y=3时，x=1;
把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位，
能使点C恰好移动到双曲线y=x/3上