Question

已知函数(,,,在上有两个互异的实根.求证:且; .

已知函数(,,,在上有两个互异的实根.求证: 且; .

Answer 1

根据二次函数开口向上,在上有两个互异的实根,则在与处的函数值大于,对称轴在之间,判别式大于,建立不等式关系,从而可证得结论;
根据,然后,消去,最后利用基本不等式可证得结论.
证明:函数,在上有两个互异的实根,
,
,由得,由得,
,
且;
,
由得,,
,
,
由得,
,,
,
.
本题考查了函数的零点与方程根的关系.函数的零点等价于对应方程的根,等价于函数的图象与轴交点的横坐标,解题时要注意根据题意合理的选择转化.本题还涉及了二次函数的根的分布的问题,解题时要注意抓住开口方向,对称轴,区间端点的函数值进行求解.属于中档题.