Question

在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图所示：

在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图所示：（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

解答：（I）证明：∵∠B=90°，∴AB⊥BC．
∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=45°．（1分）
又平面四边形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°∴DC⊥AC（2分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC?平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD（4分）
∵DC∩BC=C，∴AB⊥平面BCD（5分）
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面PCD．（6分）
（II）解：设AC的中点为O，连接BO，过O作OE⊥AD于E，连接BE．
∵AB=BC，O为AC中点．∴BO⊥AC，（7分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
BO?平面ABC，∴BO⊥平面ACD．（8分）
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，∴∠BEO为二面角B-AD-C的平面角．（10分）
在Rt△ABC中，BO=

2

2

，AC=

2

∴在Rt△DCA中，AD=

3

，∴OE=

6

6

．（11分）
∴在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

3

，∴∠BEO=60°（13分）
∴二面角B-AD-C的大小为60°，
∴其余弦值为

1

2

（14分）