Question

复变函数Re1/z=k是什么曲线

Answer 1

设z=x+iy，其中x和y是实数。
那么1/z=1/(x+iy)=(x-iy)/(x+iy)(x-iy)=x/(x²+y²)-iy/(x²+y²)
因此 Re 1/z=x/(x²+y²)
所以题目的方程可以化为
x/(x²+y²)=k
即k(x²+y²)-x=0
下面分类讨论：
如果k=0，那么方程化为x=0，而y则无限制，因此表示的曲线是x轴
如果k≠0，那么方程化为
x²+y²-x/k=0
即
(x-1/2k)²+y²=1/4k²，因此表示以(1/2k,0)为圆心，1/|2k|为半径的圆周。