Question

已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{An}中的前n项和，且An+1/An=2Sn

“已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{An}中的前n项和，且An+1/An=2Sn”
An>0，求An

Answer 1

注意an=Sn-S(n-1)，2Sn-an=Sn+S(n-1)
所以题设表明1/(Sn-S(n-1))=Sn+S(n-1).即(Sn)^2-(S(n-1))^2=1
这说明(Sn)^2是公差为1的等差数列
而a1+1/a1=2S1=2a1.解得正数a1=1。所以(S1)^2=1
所以(Sn)^2=n。Sn=根号n
所以an=根号n-根号(n-1)

Answer 2

2Sn=An+1/An, S1=A1
2A1=A1+1/A1,==> A1^2=1, A1=1=S1
2Sn=An+1/An=(Sn-S(n-1))+1/(Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1)=1/(Sn-S(n-1))
Sn^2-(S(n-1))^2=1
令Bn=Sn^2, Bn-B(n-1)=1
Bn为等差数列，公差为1
Bn=B1+(n-1)=S1^2+(n-1)=n
Sn=√Bn=√n
An= √n- √（n-1）
n=1时也成立，所以：
An= √n- √（n-1）