Question

已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax^2-2x+1在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a)

已知1/3 ≤a≤1,若f(x)=ax^2 -2x+1,在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(x)=M(a)-N(a) (1)求g(a)的函数表达式.(2)判断函数g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.

Answer 1

函数f(x)=ax²-2x
1图像的对称轴为x=1/a，∵1/3≤a≤1,，∴1≤1/a≤3
所以其最小值为m(a)=f(1/a)=1-1/a
根据函数图像可知，当对称轴1≤1/a≤2时，即1/2≤a≤1时，
M(a)=f(3)=9a-5
当对称轴2＜1/a≤3，即1/3≤a＜1/2时，
M(a)=f(1)=a-1
∴当1/3≤a＜1/2时，g(a)=M(a)-m(a)=a
1/a-2
当1/2≤a≤1时，g(a)=M(a)-m(a)=9a
1/a-6