Question

已知an为等差数列,a1+1,a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=？

Answer 1

设{an}的公差为d
那么a1=a3-2d，a5=a3+2d
因为a1+1、a3+3、a5+5成等比数列，
那么(a1+1)(a5+5)=(a3+3)(a3+3)
(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)(a3+3)
a3×a3+2d×a3+5×a3-2d×a3-2d×2d-2d×5+a3+2d+5=a3×a3+6×a3+9
4d^2+8d+4=0
d^2+2d+1=0
(d+1)^2=0
d=-1。
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所以，这个等比数列可写成如下形式：
第一项：a1+1
第二项：a3+3=a1+2d+3=a1-2+3=a1+1
第三项：a5+5=a1+4d+5=a1-4+5=a1+1
可以看出，这三项相同，于是，q=1
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