Question

设函数f(x)对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2

(1)证明fx为奇函数 (2)证明fx在R上是减函数 (3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4求x的取值范围

Answer 1

解1由f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0
即f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=0
取-x代替y
即f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
即f(0)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数
2设x1，x2属于R,且x1＞x2
则f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
由x1＞x2
即x1-x2＞0
又由当x>0时,f(x)<0,
即f(x1-x2)<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
故fx在R上是减函数
3f(x+y)=f(x)+f(y)
知f(2)
=f(1)+f(1)
=-2-2
=-4
故4=-f(2)
由f(2x+5)+f(6-7x)>4
得f(2x+5)+f(6-7x)>-f(2)
由f(x)是奇函数，则-f(2)=f(-2)
即f(2x+5)+f(6-7x)>f(-2)
即f[(2x+5+6-7x)]>f(-2)
即f[(11-5x)]>f(-2)
由fx在R上是减函数
即11-5x＜-2
即5x＞13
即x＞13/5