Question

微积分的应用题

请大家出道微分和积分的应用题给我，切记一定是应用题。还要解题过程。谢咯。我现在在自学，希望看看例题

Answer 1

1.微分在近似计算中的应用：
要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜，求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推）
解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积这差。设球的体积为V，则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1,
△r=0.01 于是，△V≈dV=f'(r')△r=f'(1)*0.01,
而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π
所以铜的体积约为dV=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)
于是镀铜的质量约为dW=kdV≈0.13×8.9≈1.16(g)

2.定积分在物理学中的应用：
根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比。已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N，求弹簧压缩2cm时所作的功。
解：由题意，弹簧的弹力为f(x)=kx(k为比例常数），当x=0.01m时
f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4N
由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x
于是，W=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0
=280(J),即弹簧压缩2cm时所作的功为280J。

Answer 2

将收益函数
R
分别对
x
和
y
求偏导数，然后令偏导数为零，求得极值点，然后由于广告费用不能小于零，因此考虑函数
R
在四分之一平面边界上的一元最值问题，最后即可比较得到最值。

Answer 3

微积分是比较简单的，你的书上没有例题，正如上面的说的，打不出哪个积分符号。

Answer 4

自学没用书吗? 书上没有例题吗? 本想出题的,只是那个积分号打不出,就只好作罢.

Answer 5

1证明不等式: ex >1+ x (x 不等于 0)
解：
∵Δy=f(x)-f(0)= f'(0) Δx +o(Δx)
且Δx=x-0 o(Δx)为高阶无穷小
∴f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)
∴f(x)>f(0)+xf'(0) （1）
如果o(x)可以忽略不计的话则
f(x)≈f(0)+xf'(0) （2）
构造函数f(x)=exp(x)，则f'(x)= exp(x) 再把x=0代入（1）式……就能得出exp(x) >1+ x (x 不等于 0)
2。求证: 当x-->0时, 两无穷小量的等价关系: ln(1+x) ~ ex-1
(注:这里的 ex是e的x次方,我无法打出数学的表示方法.)
解：
方法与上题差不多，先构造函数f(x)= ln(1+x) ，则f'(x)=1/（1+x）再把x=0代入（2）式……就能得出
ln(1+x)≈x 由于exp(x) ≈1+x 所以ln(1+x)≈exp(x)-1

我再给你一个网址http://freeweb.nyist.net/~dyp/jjsx/wjf/wjfzy/shiti/shiti.htm
上面有很多的微积分的题目。你自己做吧。