Question

p为三角形ABC的BC边垂直平分线上的一点,且角PBC=1\2角A.BP,CP的延长线分别交AC,AB于D,E.求证:BE=CD.

Answer 1

这个证明比较简单

做令垂直平分线交AB于O，连接CO交BD于F

由于P在垂直平分线上，所以，很容易证明如下结论：
BP=CP
BO=CO
角OBP=角OCP
角PBC=角PCB=1/2的角A
角EPB=角FPC
根据以上结论，可以得到三角形EBP全等于三角形FCP
因此BE=CF

注意到：角DFC=角FCP+角PBC+PCB=角FCP+角A=角ABP+角A=角FDC
所以，三角形CFD是等腰三角形，CD=CF

所以，BE=CF=CD

得证

Answer 2

1.在pd上取点f，使pf=pe，连接fc
因为
p为△abc的边bc垂直平分线上的一点
所以
pb=pc，角pbc=角pcb
又因为
角epb=角fpc
所以
三角形epb全等于三角形fpc
所以
角ebp=角fcp
因为
角dfc=角pbc+角pcb+角fcp，角fdc=角a+角ebp
又因为
角pbc=角pcb，2角pbc＝角a
所以
角dfc=角fdc
所以
fc=cd
因为
三角形epb全等于三角形fpc
所以
fc=be
所以
be=cd
2.过c作cg，使cg=pc，交bd的延长线于点g
因为
cg=pc
所以
角g=角dpc
又因为
角dpc=角epb
所以
角g=角epb
因为
p为△abc的边bc垂直平分线上的一点
所以
pb=pc，角pbc=角pcb
因为
角dpc=角pbc+角pcb，2角pbc＝角a
所以
角dpc=角a
所以
角peb=角adf=角gdc
因为
角g=角epb，cg=pc=pb
所以
三角形epb全等于三角形dgc
所以
be=cd